L'infini

2015-05-21

Salut Ruben !

Je t'envoie la preuve pour convaincre ton pÚre. Je me suis personnellement rendu à l'infini (il se trouve au Havre) et j'ai vérifié que les parallÚles s'y joignent.

La photo montre qu'il y a mĂȘme des flĂšches qui t'indiquent la direction par oĂč t'es venu et par oĂč tu dois revenir, car quand c'est Ă  l'infini, on ne connaĂźt pas.

Quelques centaines de mĂštres plus loin il y avait un autre infini, un ratĂ© cette fois-ci, oĂč les parallĂšles n'ont pas rĂ©ussi Ă  se joindre : on voit que, franchement, c'est n'importe quoi.

T'imagines ce que cela donnerait comme point de fuite dans un tableau avec une perspective ? Ce qui prouve que les parallĂšles doivent se joindre, sinon c'est le bordel !

VoilĂ .

A+

Octave

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2015-08-20

Salut Octave,

Si deux droites parallĂšles se rejoignent Ă  l'infini et si elles se rejoignent au Havre, alors c'est que le Havre est Ă  l'infini. Ou alors qu'il y a plusieurs infinis. Ce qui ne me gĂȘne pas, mais en l'occurrence le compactifiĂ© d'Alexandrov et son unicitĂ© ont du plomb dans l'aile. C'est embĂȘtant. Je me souviens ĂȘtre passĂ© au Havre, c'est pas mal, mais c'est pas l'infini. Houston, on a un problĂšme...

Entre temps j'ai trouvé une autre façon de visualiser la chose. Il s'agit de prendre deux cercles se coupant en un point et de les étirer, à l'infini ! Une animation est en piÚce-jointe.

À plus tard !

l-infini-cercles

2015-09-11

Cher Ruben, tu as probablement raison : celui qui est au Havre ne doit pas ĂȘtre le vrai infini. Le vrai infini se trouve sĂ»rement beaucoup plus loin, au moins Ă  500 km.

Pour ce qui est de ton GIF, en y rĂ©flĂ©chissant avec mon cerveau Ă  moi : puisqu’il "n’est pas possible" (= contraire Ă  notre intuition) que deux droites parallĂšles se rejoignent au mĂȘme point simultanĂ©ment par leurs extrĂšmitĂ©s opposĂ©es, alors les deux cercles, mĂȘme infiniment grands, doivent garder leurs propriĂ©tĂ©s et toujours rester des cercles. Leurs arcs tendent vers le parallĂ©lisme uniquement localement, sans jamais devenir parallĂšles, puisqu’il ne s’agit pas de droites. Dans un tel plan conforme Ă  notre expĂ©rience, mais Ă©tirĂ© avec tout ce qu'il contient Ă  l’infini dans ses deux dimensions, donc infiniment vaste, de tels cercles devraient se confondre quelque soit leur diffĂ©rence de rayon.

Mais peut-ĂȘtre que la premiĂšre prĂ©misse est fausse et il existe des parallĂšles se rejoignant en un seul point Ă  l’infini par leurs deux bouts. Ça, ce serait possible dans un espace infini, courbe et fermĂ© dont ces droites feraient en quelque sorte le tour. L’intersection se trouverait chaque fois Ă  l’opposĂ© de l’observateur. Les propriĂ©tĂ©s qu’ont les cercles sur un plan localement seraient en fait les propriĂ©tĂ©s de cet espace en mĂȘme temps fermĂ© et infini (j’ai lu que ça existe, sans comprendre comment, sauf de la sorte, Ă  l’instant).

Donc : soit on a des cercles qui restent des cercles dans un espace plat, soit on a des droites parallĂšles dans un espace courbe et fermĂ©. Ton .gif est censĂ© de prouver que les parallĂšles se rejoignent Ă  l’infini mĂȘme dans un espace plat ? Pas sĂ»r que j’ai compris oĂč tu voulais en venir. J’avoue que les infinis dĂ©passent largement mon cerveau local. Un mathĂ©maticien, Ă  l’aise avec les symboles et capable de gĂ©nĂ©ralisations, ne s’empĂȘtre pas dans les exemples et peut raisonner Ă  grande Ă©chelle, de façon abstraite, Ă  l'abri des intuitions trompeuses. Mais mĂȘme comme ça, en rĂ©flĂ©chissant avec les moyens du bord, on aura au moins compris que l'on ne peut pas raisonner sur l'infini gĂ©omĂ©trique sans prendre en considĂ©ration la topologie de l'espace considĂ©rĂ©. Finalement, ce sont nos prĂ©misses, devenues axiomes, qui dĂ©finissent les propriĂ©tĂ©s topologiques de cet espace. Donc, pour rĂ©flĂ©chir sur tes cercles, il nous manque quelque chose. S'il y a un problĂšme, alors son Ă©noncĂ© est incomplet.

En attendant l'Ă©lucidation dĂ©finitive du mystĂšre de l'infini, je te soumets aux fins d’étude un tableau digne d’une thĂšse concernant un tout autre sujet, voir PJ.

O.

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